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Jul 10, 2024

La ritrovata forma matematica di "Einstein" crea un mai

Una nuova forma chiamata Einstein ha preso d'assalto il mondo della matematica. La piastrella scoscesa a forma di cappello può coprire un piano infinito con motivi che non si ripetono mai. Piastrellare in modo creativo il pavimento del bagno non è semplice

Una nuova forma chiamata Einstein ha preso d'assalto il mondo della matematica. La piastrella scoscesa a forma di cappello può coprire un piano infinito con motivi che non si ripetono mai.

Piastrellare in modo creativo il pavimento del bagno non è solo un compito stressante per i restauratori di case fai-da-te. È anche uno dei problemi più difficili della matematica. Da secoli gli esperti studiano le particolari proprietà delle forme delle piastrelle che possono rivestire pavimenti, paraschizzi di cucine o piani infinitamente grandi senza lasciare spazi vuoti. Nello specifico, i matematici sono interessati a forme di piastrelle che possano coprire l'intero piano senza mai creare un disegno ripetitivo. In questi casi speciali, chiamati piastrellature aperiodiche, non esiste alcun modello che sia possibile copiare e incollare per mantenere attiva la piastrellatura. Non importa come tagli il mosaico, ogni sezione sarà unica.

Finora le piastrellature aperiodiche richiedevano sempre almeno due piastrelle di forma diversa. Molti matematici avevano già rinunciato alla speranza di trovare una soluzione con una tessera, chiamata la sfuggente tessera “einstein”, che prende il nome dalle parole tedesche per “una pietra”.

Poi, lo scorso novembre, David Smith, ingegnere in pensione dei sistemi di stampa dello Yorkshire, in Inghilterra, ha fatto una svolta. Scoprì una forma scoscesa a 13 lati che credeva potesse essere una piastrella Einstein. Quando lo disse a Craig Kaplan, uno scienziato informatico dell'Università di Waterloo in Ontario, Kaplan riconobbe subito il potenziale della forma. Insieme allo sviluppatore di software Joseph Samuel Myers e al matematico Chaim Goodman-Strauss dell'Università dell'Arkansas, Kaplan ha dimostrato che la singola piastrella di Smith pavimenta effettivamente il piano senza lacune e senza ripetizioni. Ancora meglio, scoprirono che Smith aveva scoperto non solo una ma un numero infinito di tessere Einstein. Il team ha recentemente riportato i suoi risultati in un documento che è stato pubblicato sul server di prestampa arXiv.org e non è stato ancora sottoposto a revisione paritaria.

Chiunque abbia camminato attraverso i corridoi di mosaici mozzafiato del palazzo dell'Alhambra a Granada, in Spagna, conosce l'abilità artistica coinvolta nel piastrellare un aereo. Ma tale bellezza nasconde domande senza risposta, che sono, come affermò il matematico Robert Berger nel 1966, indimostrabilmente indimostrabili.

Supponiamo di voler piastrellare una superficie infinita con un numero infinito di tessere quadrate. Devi però seguire una regola: i bordi delle tessere sono colorati e solo i bordi dello stesso colore possono toccarsi.

Con tessere infinite, inizi a disporre i pezzi. Trovi una strategia che pensi possa funzionare, ma a un certo punto ti imbatti in un vicolo cieco. C'è un vuoto che non puoi colmare con le tessere che hai a disposizione e sei costretto a posizionare i bordi non corrispondenti uno accanto all'altro. Game Over.

Ma certamente, se avessi avuto la tessera giusta con la giusta combinazione di colori, avresti potuto uscire dai guai. Ad esempio, forse avevi bisogno di una sola tessera in cui tutti i bordi fossero dello stesso colore. Un matematico guarderebbe il tuo gioco e ti chiederebbe: “Puoi determinare se finirai in un vicolo cieco semplicemente guardando i tipi di tessere colorate che ti sono state date all’inizio? Questo ti farebbe sicuramente risparmiare molto tempo.

La risposta, ha scoperto Berger, è no. Ci saranno sempre casi in cui non è possibile prevedere se sarà possibile coprire la superficie senza spazi vuoti. Il colpevole: la natura imprevedibile e non ripetitiva delle piastrellature aperiodiche. Nel suo lavoro, Berger ha trovato un insieme incredibilmente grande di 20.426 piastrelle di colore diverso che possono pavimentare un piano senza che lo schema di colore si ripeta. E ancora meglio, è fisicamente impossibile formare uno schema ripetitivo con quel set di tessere, non importa come le disponi.

Questa scoperta sollevò un'altra domanda che da allora perseguitò i matematici: qual è il numero minimo di forme di piastrelle che insieme possono creare una tassellatura aperiodica?

Nei decenni successivi, i matematici trovarono insiemi di tessere sempre più piccoli che potevano creare mosaici aperiodici. Innanzitutto, Berger ne ha trovato uno con 104 tessere diverse. Poi, nel 1968, l'informatico Donald Knuth trovò un esempio con 92. Tre anni dopo il matematico Raphael Robinson trovò una variante con solo sei tipi di tessere e infine, nel 1974, il fisico Roger Penrose presentò una soluzione con solo due tessere.